L'expérimentation sur ordinateurs enrichit à plusieurs titres la recherche en mathématiques :
- développement de l'intuition et découverte de phénomènes (e.g. le phénomène du cercle arctique dans les grands pavages aléatoires par dimères, structures dans les empilements optimaux),
- formulation de conjectures (e.g. la formule pour la somme des exposants de Lyapunov pour le flot de Teichmüller a été conjecturée dans les années 90 par M. Kontsevich d'après des simulations numériques, puis prouvée par A. Eskin, M. Kontsevich et A. Zorich en 2013),
- illustrations ou vérifications de résultats (e.g. en dynamique holomorphe, complexité théorique d'un algorithme),
- découverte de contre-exemples (e.g. la conjecture d'Euler réfutée informatiquement en 1966),
- aide à la preuve par exhaustion de cas (e.g. la conjecture de Kepler démontrée par T. Hales, ou la conjecture faible de Goldbach démontrée par H. Helfgott), calcul certifié (e.g. le 14e problème de Smale démontré par W. Tucker via l'arithmétique d'intervalles),
- découverte de liens entre domaines éloignés par l'utilisation de bases de données (e.g. OEIS),
- exploration de phénomènes hors de portée des mathématiques ou de l'informatique théorique d'aujourd'hui (e.g. les zéros de la fonction zeta de Riemann, exposant critique des marches auto-évitantes en dimension 2, empilements optimaux de sphères).
Nous pensons que dans ce cadre l'utilisation des logiciels libres est cruciale:
- l'accès au code source permet son étude et sa vérification, prérequis à la reproductibilité des résultats produits,
- la mutualisation permet aux chercheur·euses de concentrer leurs efforts sur l'implantation du code spécifique à leur sujet de recherche.
Le logiciel Sage (http://www.sagemath.org/) fédère des dizaines de bibliothèques et logiciels spécialisés (GMP, MPFR, FLINT, PARI/GP, GAP, ...) au sein d'une interface commune en Python. Il jouera également un rôle central dans cette école.
Quelques lectures
- Noah Giansiracusa "Packing spheres on the sphere: an introduction to experimental mathematics" (disponible à l'adresse http://math.uga.edu/~noah/files/spheres.pdf). Dans cet article, est expliqué comment des exemples d'empilements optimaux dans l'espace euclidien et sur la sphère (relié à la conjecture de Kepler déjà mentionnée) ont fait l'objet de recherche via du calcul intensif en utilisant entre autre PARI/GP et nauty. Les méthodes et résultats issus decette expérience font l'objet d'un article de B. Ballinger, G. Blekherman, H. Cohn, N. Giansiracusa, E. Kelly, and A. Schürmann "Experimental Study of Energy-Minimizing Point Configurations on Spheres" publié dans le journal Experimental Mathematics en 2009 (disponible en open access à https://projecteuclid.org/euclid.em/1259158465).
- La revue Experimental Mathematics publie de nombreux résultats d'expériences produits à l'ordinateur.
